Простейшие колебательные системы

Простые колебательные системы.

Если система обладает одной степенью свободы и в ней вероятны гармонические колебания, то такая система именуется гармоническим осциллятором. Разглядим несколько примеров таких механических систем, которые также именуют маятниками.

1. Пружинный маятник.

Разглядим движение Простейшие колебательные системы маленького бруска массой m, размещенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикрепленного к недвижному упору при помощи легкой пружины жесткости k (Рис. 196). Положение бруска будем обрисовывать при помощи декартовой координаты Простейшие колебательные системы x, начало отсчета которой совместим с положением, в каком пружина не деформирована. При отклонении бруска от положения равновесия на него будет действовать сила упругости пружины , направленная к положению равновесия, ее модуль определяется Простейшие колебательные системы законом Гука . На основании второго закона Ньютона и, пренебрегая трением, запишем уравнение, описывающее движение бруска

. (1)

Из этого уравнения следует, что ускорение бруска находится в зависимости от его координаты

, (2)

другими словами пропорционально координате с отрицательным Простейшие колебательные системы коэффициентом пропорциональности. Сравнивая с приобретенным ранее кинематическим уравнением, связывающим ускорение тела с его координатой

, (3)

мы убеждаемся в их полной тождественности. На основании этого мы делаем обоснованный вывод: в рассматриваемой системе брусок совершает гармонические колебания . Частота этих Простейшие колебательные системы колебаний не находится в зависимости от их амплитуды и просто находится из сопоставления уравнений (2) и (3), идентичность которых просит выполнения условия , либо

. (4)

Период колебаний бруска равен

.

Приобретенные формулы для частоты и периода Простейшие колебательные системы колебаний отменно просто объяснимы: частота колебаний растет с ростом жесткости пружины и убывает при возрастании массы груза.

Колебания, возникающие под действием внутренних возвращающих ограниченных сил, именуются свободными.

Подчеркнем, на данный момент мы Простейшие колебательные системы получили уравнение (2) на основании законов динамики, его совпадение с рассмотренным ранее кинематическим уравнением (3) заблаговременно не предполагалось, это можно даже именовать «счастливым совпадением».

Закон движения бруска совершенно точно определяется при задании исходных критерий. Зависимость характеристик закона Простейшие колебательные системы движения от исходных критерий подверглась рассмотрению нами ранее, потому тут укажем только два последних варианта исходных критерий.

Если мы отклоним брусок от положения равновесия на расстояние A и отпустим Простейшие колебательные системы его без толчка (исходные условия: при t = 0 x0 = A, υ0 = 0), то закон движения будет иметь вид

. (5)

В другом предельном случае, когда бруску резким толчком докладывают исходную скорость (исходные условия: при t = 0 x0 = 0, &upsilon Простейшие колебательные системы; = υ0), закон движения будет несколько другим

. (6)

Разглядим сейчас описание движения маленького шарика массой m, подвешенного на легкой пружине жесткостью k (Рис. 197). Направим ось Ox вертикально вниз, начало отсчета совместим с положением недеформированной пружины. В процессе Простейшие колебательные системы движения на шарик действуют сила тяжести и сила упругости , модуль которой определяется законом Гука . Уравнение второго закона Ньютона в проекции на введенную ось имеет вид

. (7)

Потому что сила упругости находится в зависимости от координаты Простейшие колебательные системы шарика (как следует, не постоянна), то движение шарика не будет равноускоренным. Понятно, что движение шарика будет колебательным, но, на 1-ый взор, уравнение его движения (7) отличается от рассмотренного нами уравнения гармонических Простейшие колебательные системы колебаний – находится неизменная составляющая mg. Преобразуем уравнение (7)

. (8)

Показавшаяся в уравнении величина имеет приятный смысл: она показывает положение равновесия шарика, в каком сила тяжести уравновешивается силой упругости . Сейчас мы можем сдвинуть начало отсчета оси координат Простейшие колебательные системы, совместив его с положением равновесия. В этой модифицированной системе отсчета координата шарика равна , ускорение шарика и в новейшей системе отсчета остается прежним . Потому уравнение движения шарика в этой системе Простейшие колебательные системы отсчета имеет вид, на сто процентов совпадающий с уравнением гармонических колебаний

, (9)

с частотой . Таким макаром, неизменная сила, действующая в колебательной системе, не изменяет частоты колебания, а только сдвигает положение равновесия. Полное решение уравнения движения (9) нам понятно Простейшие колебательные системы, потому можно также записать и полное решение уравнения (7) в начальной системе отсчета

, (10)

в каком произвольные неизменные A, B определяются из исходных критерий.

Еще одним общим способом получения уравнения движения является Простейшие колебательные системы внедрение закона сохранения энергии. Разглядим перевоплощения энергии в процессе колебаний бруска на гладкой горизонтальной поверхности (Рис. 196). Для того чтоб вывести брусок из положения равновесия к нему нужно приложить внешнюю силу. Эта сила Простейшие колебательные системы должна совершить положительную работу, тем, сообщая системе энергию. Эта энергия «запасается» в виде возможной энергии деформированной пружины и равна . Если брусок к тому же дополнительно толкнуть, то система получит дополнительную энергию в Простейшие колебательные системы форме кинетической энергии бруска .

В процессе движения бруска происходят неизменные переходы энергии из возможной в кинетическую (когда брусок движется к положению равновесия – сила упругости совершает положительную работу, потому кинетическая энергия увеличивается) и назад - из Простейшие колебательные системы кинетической в потенциальную (когда брусок удаляется от положения равновесия – работа силы упругости отрицательна, потому кинетическая энергия убывает).

Пренебрегая трением, закон сохранения механической энергии выражается уравнением

, (11)

в каком сумма кинетической энергии бруска и возможной энергии Простейшие колебательные системы деформированной пружины остается неизменной величиной, которая просто выражается через исходные условия . В уравнении (11) неведомой является зависимость координаты от времени x(t), скорость движения является производной от координаты по времени &upsilon Простейшие колебательные системы;(t) = x'(t). Таким макаром, с математической точки зрения уравнение (11) содержит неведомую функцию и ее производную. Подставим в это уравнение закон движения, отысканный нами из динамического уравнения (1):

. (12)

Зависимость скорости от времени описывается Простейшие колебательные системы в данном случае функцией

. (13)

Легко удостоверится, что эти функции при подстановке в уравнение (11) превращают его в верное тождество (естественно, при ), как следует, функция (12) является решением этого уравнения.

Таким макаром, уравнение (12) также является уравнением Простейшие колебательные системы гармонических колебаний, оно на сто процентов эквивалентно (равносильно) уравнению (1).

Для подтверждения этого утверждения довольно взять производную по времени от уравнения (11):

,

при выводе учтено, что производная от неизменной энергии равна нулю; беря во внимание Простейшие колебательные системы, что производная от координаты равна скорости x' = υ, а производная от координаты есть ускорение υ' = a, получаем после сокращения уравнение (1) . Можно также провести и оборотный математический переход от уравнения (1) к Простейшие колебательные системы уравнению (11).

Любопытно отметить, что решение уравнения (11) можно отыскать «по аксиоме Пифагора». Вправду, представим, что его решением является функция, изменяющаяся по «закону косинуса»; , тогда скорость будет изменяться «по закону синуса»: . По известному основному тригонометрическому Простейшие колебательные системы тождеству сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, как следует, можно подобрать такое значение параметра ω, чтоб уравнение (11) приводило к этому тождеству. Подставляя записанные выражения для зависимостей координаты и скорости от Простейшие колебательные системы времени в уравнение (11), получим

,

после тривиального преобразования

.

Чтоб это уравнение перевоплотился в тождество нужно, чтоб производилось условие , из которого следует популярная формула для периода колебаний. Амплитуда колебаний A выражается через полную энергию системы.

Подведем Простейшие колебательные системы основной результат: если на основании физических законов (приемущественно закона сохранения энергии) удалось показать, что некая переменная величина X(t) и ее производная V(t) = X'(t) связаны соотношением

, (14)

то величина X меняется по гармоническому закону, с Простейшие колебательные системы радиальный частотой ω.

2 Математический маятник.

Маленький шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, способен совершать свободное колебательное движение (Рис. 198). Для описания движения маятника будем считать шарик вещественной точкой, пренебрежем массой нити Простейшие колебательные системы и сопротивлением воздуха. Такая модель именуется математическим маятником.

В качестве координаты, описывающей положение шарика, выберем угол отличия нити от вертикали φ. Для описания конфигурации этой координаты комфортно использовать уравнение динамики вращательного движения

, (1)

где Простейшие колебательные системы - момент инерции системы, - угловое ускорение тела (2-ая производная от угла поворота), M - суммарный момент наружных сил действующих на систему[2]. На шарик действуют силы тяжести mg и натяжения нити. Момент силы натяжения нити относительно точки Простейшие колебательные системы подвеса равен нулю, потому уравнение (1) для подвешенного шарика приобретает вид

, (2)

либо

. (3)

Это уравнение обрисовывает колебания маятника, но не является уравнением гармонических колебаний, потому что момент сил пропорционален синусу угла отличия, а не Простейшие колебательные системы самому углу. Но, если считать углы отличия малыми (сколько это – мы выясним позже), можно пользоваться приближенной формулой в этом приближении уравнение (3) преобразуется в знакомое уравнение гармонических колебаний

, (4)

где - радиальная частота малых колебаний маятника Простейшие колебательные системы[3]. Решение этого уравнения мы уже выписывали

, (5)

тут φ0 - наибольшее отклонение нити, другими словами амплитуда колебаний. Для простоты будем считать, что исходная скорость шарика равна нулю.

Период малых колебаний маятника выражается через радиальную частоту

. (6)

Потому что малые Простейшие колебательные системы колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды. Данный факт был экспериментально отмечен еще Г. Галилеем. При огромных углах отличия период колебаний математического маятника некординально растет.

Отметим, что Простейшие колебательные системы период колебаний математического маятника не также зависит от массы шарика – вспомните, ускорение свободного падения, также другие свойства движения тела в поле тяжести Земли также не зависят от массы тела (если Простейшие колебательные системы, естественно, третировать сопротивлением воздуха). Формула (6) может быть применена и употребляется для экспериментального определения ускорения свободного падения. Длина нити и период колебаний довольно легко измерить экспериментально, потом при помощи формулы (6) можно высчитать ускорение Простейшие колебательные системы свободного падения.

Попробуем обрисовать движение математического маятника при помощи закона сохранения механической энергии. Кинетическая энергия шарика выражается формулой . Нулевой уровень отсчета возможной энергии совместим с точкой подвеса нити, тогда возможная энергия шарика Простейшие колебательные системы равна . Уравнения закона сохранения механической энергии (с учетом исходных критерий) имеет вид

. (7)

Это уравнение также не является уравнением гармонических колебаний. Но, если мы снова будем считать углы отличия маятника малыми и воспользуемся приближенной формулой , то Простейшие колебательные системы уравнение (7) перейдет в уравнение гармонических колебаний

,

либо

, (8)

где обозначено - радиальная частота колебаний, совпадающая с приобретенной из динамического уравнения (2).

Естественно, такое совпадение не является случайным – практически в обоих подходах мы использовали одно и то Простейшие колебательные системы же приближение малых углов отличия.

3 Математический маятник с пружиной.

Разглядим очередной пример колебательной системы, являющейся «гибридом» математического и пружинного маятника (Рис. 199): к шарику, подвешенному на нити длиной l, прикреплена легкая пружина так Простейшие колебательные системы, что в положении равновесия нить маятника размещается вертикально (в данном случае пружина не деформирована). Как и раньше, положение маятника будем обрисовывать при помощи угла отличия φ, который будем считать малым. Уравнение динамики вращательного Простейшие колебательные системы движения относительно точки подвеса для шарика будет иметь вид

, (1)

где - момент инерции маятника, ε - угловое ускорение, - момент силы тяжести, - момент силы упругости. Считая угол отличия малым, удлинение пружины можно представить Простейшие колебательные системы в виде и при всем этом можно считать, что ось пружины всегда остается горизонтальной. В этом же приближении можно положить , . Потому уравнение (1) упрощается

,

либо

. (2)

Это уравнение является уравнением гармонических колебаний: ускорение пропорционально смещения от положения равновесия. Радиальная Простейшие колебательные системы частота этих колебаний равна

. (3)

4 Колебание воды в трубке.

Разглядим очередной пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (Рис. 200). В состоянии равновесия верхний уровень воды размещен на высоте l Простейшие колебательные системы. Воду вывели из положения равновесия и она совершать колебания, переливаясь из 1-го колена трубки в другое. Для определения частоты (либо периода) этих колебаний воспользуемся законом сохранения энергии. В качестве координаты, характеризующей положение воды Простейшие колебательные системы, выберем величину x - отклонение уровня воды в одном колене от положения равновесия. Если площадь поперечного сечения трубки S постоянна по ее длине, то скорость течения воды будет схожа и равна производной Простейшие колебательные системы от введенной координаты . Как следует, кинетическая энергия передвигающейся воды равна

, (1)

где ρ - плотность воды, 2Sl - ее объем (пренебрегая жидкостью, находящейся в нижней части трубки, которую будем считать малой). Для расчета возможной энергии, вспомним, что Простейшие колебательные системы возможная энергия тела в поле тяжести земли равна произведению массы тела, ускорения свободного падения и высоты центра тяжести, потому в рассматриваемом случае

, (2)

где 1-ое слагаемое равно возможной энергии воды в Простейшие колебательные системы левом колене трубки, 2-ое – в правом. Если пренебречь неминуемыми потерями механической энергии из-за сил вязкого трения, то сумма кинетической и возможной энергии воды постоянна, потому

.

Из этого уравнения следует, что движение воды Простейшие колебательные системы подчиняется уравнению гармонических колебаний

, (3)

с радиальный частотой и периодом .

Отметим, что обрисовать движение воды на основании уравнений динамики в этом случае труднее.


proshlo-uzhe-pyat-mesyacev-kak-majtrejya-obratilsya-k-britanskim-smi-no-oni-do-sih-por-ne-soobshayut-o-ego-prisutstvii-pochemu-iyun-86.html
proshloe-eto-vse-chto-sushestvuet-7-glava.html
proshloe-i-nastoyashee.html