Простейшие методы неопределенного интегрирования

Неопределённый интеграл

Интегрирование является оборотной операцией по отношению к дифференцированию, так же как деление является оборотной операцией по отношению к умножению, логарифмирование - оборотной операцией по отношению к потенцированию и т.д.

Определение

Пусть в некой области определены две функции f (x) и F (x). Если выполнено равенство

F' (x) = f (x),

то f (x) именуется Простейшие методы неопределенного интегрирования производной от функции F (x), a F (x) - первообразной относительно функции f (x)

Пример 1. Отыскать первообразную F(x) функции f (x) = 2x и выстроить графики

Решение. Из таблицы производных находим, что F(x)=x2. Вправду, (x2)’=2x. Ниже на рисунке 1 представлены требуемые графики

Рис. 1

Ясно, что такая первообразная не Простейшие методы неопределенного интегрирования единственна. К примеру, функция x2+5 также является первообразной относительно функции 2x. Более того, всякая функция вида

F (x) = x2 + С является первообразной относительно 2x, т.к. (х2 + С)' = 2х

Итак, справедливо утверждение:

Неважно какая функция имеет нескончаемое огромное количество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную

Определение:

Неопределенным интегралом от функции f (x) именуется Простейшие методы неопределенного интегрирования огромное количество первообразных:

∫ f (x) dx = F (x) + С

где F' (x) = f (x), С = const, х - переменная интегрирования, f (x) - подинтегральная функция, f (x) dx – подинтегральное выражение

Характеристики неопределенного интеграла

1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

Вправду, по определению

что и требовалось обосновать

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой функции с точностью до Простейшие методы неопределенного интегрирования случайной неизменной

По правде,

3. Неизменная выносится из под знака интеграла

Вправду, используя свойство 2, получаем

4. Интеграл суммы равен сумме интегралов с точностью до случайной неизменной

По правде,

Для нахождения интегралов сложных функций комфортно воспользоваться заблаговременно составленной таблицей более употребительных в той либо другой сфере научной деятельности интегралов простых функций. Тогда поиск первообразной сводится к сведению Простейшие методы неопределенного интегрирования данного интеграла к одному либо нескольким табличным интегралам

Таблица производных и интегралов

F’ (x) = f (x)
= =
= =

Простые способы неопределенного интегрирования

· Способ подмены переменной

· Способ интегрирования по частям

Подмена переменной под знаком интеграла проводится по формуле

(1)

Это следует из того, что

Применение формулы (1) слева вправо именуют подстановкой, а справа влево – подведением под дифференциал

Интегрирование по частям проводится Простейшие методы неопределенного интегрирования по формуле

(2)

Эта формула вытекает из того, что . Проинтегрируем обе части этого равенства: . Требуемая формула выходит с учетом характеристики 2.

Пример 2. Отыскать интеграл

Решение. Создадим подстановку t=6x-5, dt=6dx. Получаем

Проверка:

Ответ:

Пример 3. Отыскать интеграл

Решение. Заведем поначалу функцию 1/x, а позже функцию 1/lnx под символ дифференциала

Ответ:

Пример 4. Отыскать интеграл

Решение Простейшие методы неопределенного интегрирования. Подведем cosx под символ дифференциала: cosx dx=dsinx. Отсюда получаем

Ответ:

Пример 5. Отыскать интеграл

Решение. Данный интеграл удобнее отыскивать интегрированием по частям. Для этого примем, что u=x, dv=cosxdx. Дальше по формуле (2)

Ответ:


proshloe-nastoyashee-i-budushee-skazki-kak-sredstvo-esteticheskogo-razvitiya-detej.html
proshloe-vliyaet-na-segodnyashnij-den-gasparyan-m-yu-tuchi-ne-mogut-dolgo-skrivat-solnechnij-svet-m-yu-gasparyan.html
proshlogodnij-rajonnij-konkurs-detskogo-risunka-prodemonstriroval-nizkij-uroven-vladeniya-doshkolnikami-sredstvami-virazitelnosti-kakim-obrazom-dobitsya-togo-chtobi-detskie-risunki-stali-bolee-virazitelnimi.html