Простейшие операции с векторами

Простые операции с матрицами

Матрицы можно множить на числа. При всем этом каждый элемент множится на это число. К примеру —

Рис. 3 Умножение матрицы на число

Две матрицы схожей размерности можно поэлементно ложить и вычитать. К примеру,

Рис. 4 Сложение матриц

В итоге умножения на число и сложения выходит матрица той же размерности.

Нулевой Простейшие операции с векторами матрицей именуется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O. Разумеется, что A+O = A, AA = O и 0A = O.

Матрицу можно транспонировать. При этой операции матрица переворачивается, т.е. строчки и столбцы изменяются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A' либо индексом At. Таким макаром, если A = {aij, i = 1,..., I; j = 1,...,J}, то At = {aji, j = 1,...,J; i = 1,..., I}. К примеру

Рис Простейшие операции с векторами. 5 Транспонирование матрицы

Разумеется, что (At)t = A, (A+B)t= At+Bt.

Содержание

Умножение матриц

Матрицы можно перемножать, но исключительно в том случае, когда они имеют надлежащие размерности. Почему это так, будет ясно из определения. Произведением матрицы A, размерностью I×K, и матрицы B, размерностью K×J, именуется матрица C, размерностью I×J, элементами которой являются числа

Таким макаром для Простейшие операции с векторами произведения AB нужно, чтоб число столбцов в левой матрице A было равно числу строк в правой матрице B. Пример произведения матриц —

Рис.6 Произведение матриц

Правило перемножения матриц можно сконструировать так. Для того, чтоб отыскать элемент матрицы C, стоящий на скрещении i-ой строчки и j-ого столбца (cij) нужно поэлементно перемножить i-ую строчку первой матрицы Простейшие операции с векторами A на j-ый столбец 2-ой матрицы B и сложить все результаты. Так в показанном примере, элемент из третьей строчки и второго столбца, выходит как сумма поэлементных произведений третьей строчки A и второго столбца B

Рис.7 Элемент произведения матриц

Произведение матриц находится в зависимости от порядка, т.е. ABBA, хотя бы по суждениям Простейшие операции с векторами размерности. Молвят, что оно некоммутативно. Но произведение матриц ассоциативно. Это значит, что ABC = (AB)C = A(BC). Не считая того, оно к тому же дистрибутивно, т.е. A(B+C) = AB+AC. Разумеется, что AO = O.

Содержание

Квадратные матрицы

Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица именуется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы Простейшие операции с векторами. Посреди этих матриц можно выделить матрицы, владеющие особенными качествами.

Единичной матрицей (обозначается I, а время от времени E) именуется матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме диагональных, которые равны 1, т.е.

Разумеется AI = IA = A.

Матрица именуется диагональной, если все ее элементы, не считая диагональных (aii) равны нулю. К примеру

Рис. 8 Диагональная матрица

Матрица A именуется Простейшие операции с векторами верхней треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. aij = 0, при i>j. К примеру

Рис. 9 Верхняя треугольная матрица

Аналогично определяется и нижняя треугольная матрица.

Матрица A именуется симметричной, если At = A. Другими словами aij = aji. К примеру

Рис. 10 Симметричная матрица

Матрица A именуется ортогональной, если

AtA = AAt = I.

Матрица именуется обычной если

AtA = AAt Простейшие операции с векторами.

Содержание

След и определитель

Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr(A) либо Sp(A)) именуется сумма ее диагональных частей,

К примеру,

Рис. 11 След матрицы

Разумеется, что

Sp(α A) = α Sp(A) и

Sp(A+B) = Sp(A)+ Sp(B).

Можно показать, что

Sp(A) = Sp(At), Sp(I) = N,

также, что

Sp(AB) = Sp(BA).

Другой принципиальной чертой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det(A)). Определение определителя в общем случае достаточно трудно, потому Простейшие операции с векторами мы начнем с простого варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда

Для матрицы (3×3) определитель будет равен

В случае матрицы (N×N) определитель рассчитывается как сумма 1·2·3· ... ·N= N! слагаемых, любой из которых равен

Индексы k1, k2,..., kN определяются как различные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, ... , N). Вычисление определителя матрицы — это непростая процедура, которую на практике Простейшие операции с векторами осуществляется при помощи особых программ. К примеру,

Рис. 12 Определитель матрицы

Отметим только тривиальные характеристики:

det(I) = 1, det(A) = det(At),

det(AB) = det(A)det(B).

Содержание

Векторы

Если матрица состоит только из 1-го столбца (J = 1), то таковой объект именуется вектором. Поточнее говоря, вектором-столбцом. К примеру

Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строчки, к примеру

Этот объект Простейшие операции с векторами также является вектором, но вектором-строкой. При анализе данных принципиально осознавать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами либо строчками. Так диапазон, снятый для 1-го эталона можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на некий длине волны для всех образцов необходимо трактовать как вектор-столбец.

Размерностью Простейшие операции с векторами вектора именуется число его частей.

Ясно, что всякий вектор-столбец можно перевоплотить в вектор-строку транспонированием, т.е.

В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной Простейшие операции с векторами буковкой. Нулевым вектором именуется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0.

Содержание

Простые операции с векторами

Векторы можно ложить и множить на числа так же, как это делается с матрицами. К примеру,

Рис. 13 Операции с векторами

Два вектора x и y именуются колинеарными, если существует такое число α, что

αx = y.

Содержание

Произведения векторов

Два вектора схожей размерности N Простейшие операции с векторами можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = (x1, x2,...,xN)t и y = (y1, y2,...,yN)t. Руководствуясь правилом перемножения "строчка на столбец", мы можем составить из их два произведения: xty и xyt. 1-ое произведение

именуется скалярнымили внутренним. Его итог — это число. Для него также употребляется обозначение (x,y)= xty. К примеру,

Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение

2-ое Простейшие операции с векторами произведение

именуется наружным. Его итог — это матрица размерности (N×N). К примеру,

Рис. 15 Наружное произведение

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, именуются ортогональными.

Содержание

Норма вектора

Скалярное произведение вектора самого на себя именуется скалярным квадратом. Данная величина

определяет квадрат длины вектора x. Для обозначения длины (именуемой также нормой вектора) употребляется обозначение

К примеру,

Рис Простейшие операции с векторами. 16 Норма вектора

Вектор единичной длины (||x|| = 1) именуется нормированным. Ненулевой вектор (x0) можно нормировать, разделив его на длину, т.е. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Тут e =x/||x|| — нормированный вектор.

Векторы именуются ортонормированными, если они все нормированы и попарно ортогональны.

Содержание

Угол меж векторами

Скалярное произведение определяет и угол φ меж 2-мя векторами x и y

Если вектора ортогональны, то cosφ = 0 и φ = π/2, а если Простейшие операции с векторами они колинеарны, то cosφ = 1 и φ = 0.

Содержание


proshu-nalogovij-organ-obratit-vnimanie-na-normi-stati-st-29-st-30-zakona-respubliki-belarus-ot-21-fevralya-1995-g-3602-x.html
proshu-sud-apellyacionnoj-instancii-g-v-sereda-dokumenti-federalnoj-palati-advokatov-rossijskoj-federacii.html
proshu-tebya-i-zayavlyayu-tebe-.html